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雷速,大学数学欠好,或许是数学教材的锅?,康熙王朝电视剧

admin 雷火电竞app 2019-04-30 319 0

高数就不行了,我尽力多时也无法把那些公式定理形象化了解,形似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成果也适当一般。是不是我的脑子学到高中便是极限了?直说也不妨,由于我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了,赚的形似也还能够。。。囧。。。

上了大学,为什么看不明白大学数学

由于教材太差?

一个国家的教育水平,必定程度能够体现在教材的水平上;一个大学的教育水平,更好像反响在教材水平上。我国绝大多数校园的数学课程都是直接从苏联数学承继过来的,三十多年来,革新的速度仍是比较慢的。假设你看过美国的教材,或许能够从不同视点了解国内考研学生数学平均分的不及格,可能是标题太难,也可能是教材太差,真的太差。假设数学教材存在一个轻视链,那能够说国内985比211好了一点点,可是常青藤系列比国内985好了一个几许量。

例如,同济版《高数》、浙大《概率核算》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大缺乏。他们外表听起来很巨大,实践上承继了苏联空泛笼统的形式,以至于内容设置十分不合理,假设是归于使用型的《微积分》,国内的《高数》显着偏难,而且联络实践的标题太少;可是假设归于剖析型的《微积分》,那内容又略显得简略和臃肿。以至于绝大部分学生结业后底子完全遗忘《高数》究竟是什么,我不是说学生不认真学习或许教师差,而是教材的要素,教材,教材,真的太差了。由于《微积分》是学习《概率核算》和《线性代数》的必备条件,因而直接导致全体考研数学成果十分差,而实践上现在考研的数学标题都是十分根底的,是教材上例题的加强版,合理的学习安排下,应该能考到120分左右。但由于教材的巨大诱导性,让学出产生了严峻的惊骇心理和不满情绪,这又反作用了对数学的惧怕和恶感,真是一件很悲痛的作业。

对《同济高数》的定见

实践上,《同济高数》是十分笼统的,而且脱离实践的。从目录来看,好像完好的覆盖了整个《CALCULUS》系统,可是在简直全部的要害点上,同济的编者并没有用心处理,或许说,至少没有从学生的视点去考虑。能够说全部常识都是:“点到为止,泛而不精”。全书言语都过于机械数字化,当然内容都是正确的,也没有显着过错,但正是这种”中庸精力“,少了一份灵气,少了一份让学生加深了解的辅助材料。要仿制公式谁不会,我能够用几页A4纸把全部公式都写出来,莫非这样就代表整个《微积分》了吗?往往是在公式之外的当地,在书本留白的边际,在最细节的当地,最难的当地,最笼统的当地,最需求deive statement 的当地才干看出一个作者的功力是否深沉,学识是否到家。“举重若轻”,是对一个学者的最高的赞誉和点评,惋惜国内教材和教授们在这个方面,还有很长的路要走呢。

《同济高数》用很准确的言语把极限“D-E”界说摆出来,可是没有阐明这个界说的来龙去脉,因而许多学生都看不明白,乃至适当一部分学生都无法准确发音delta -epislon,更甭说了解到“为什么要用D-E来代表极限?不能用其他符号吗?”。而实践上D-E 在古希腊字母中只是表明字母表的第四个和第五个字母,没有任何特别的含义,主要是ABC 都被欧几里得霸占在几许学里,没办法用了,被逼无法采用了D-E。

而在美国教材中,原作者用了一大段很简略的言语和几幅图片,将极限进行了解说“Limit is an active approachingprocess, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how closeyou are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的年代还没有呈现,由于极限涉及到的数学原理其实很杂乱,只是是“连续性”和“光滑性”这两个看起来很简略的名词,就让整整一个世纪的数学家废寝忘食,废寝忘食,才得出定论。

而至于咱们今日看到的D-E界说,更是牛顿身后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出,因而美版教材遍及都不要求“证明”,只需求“了解”极限的意识形态。《同济高数》关于一元微积分简直完全没有实例,而关于极端重要的sinhx,coshx,更是只需寥寥几页纸,而且还带了一个星号,给人一种“欲练此功,必先自宫”的惊骇,sinhx,coshx 便是由E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的,简略吧?可是同济直接疏忽了y=e^x 的教育,实践上y=e^x 是微积分中最简略,也是最重要的函数族。正由于这个特色,对它们的求导/求积就十分简略,特别是后期学习无量级数,泰勒打开式,向量微积分,开普勒三大定理,概率的MGF,都时时刻刻体现出y=e^x 的巨大威力。

更严峻的问题是,同济和浙大的编者,都用了反人类的思想办法来打开教育。比如对y=x^n的求导教育,同济是直接拿界说出来,先把它证明晰,再举例通知学生这个定理能够直接运用。台下的学生一脸问候……

莫非咱们不会觉得这是跟正常思想相反吗?美版教材便是先带领咱们学会y=1的求导,然后y=x的求导,然后y=x^2的求导,然后y=x^3的求导,然后作者Stewart循循善诱地问同学说"nowdo you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"毕竟他才会摆出紧密的界说,并证明。此刻,学生也在进程之中学会了由特别到一般,再由一般到特别这样一个十分重要的数学思想。相对应的求积也相同,先核算y=1的积分,然后y=x的积分,然后y=x^2的积分,然后y=x^3的积分,毕竟再问学生"now do you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?" Stewart历来不会直接甩出一堆不流畅的证明,而是先从几个简略的比如,引导学生去GUESS 这样的定论是否具有一般性,而且证明自己的GUESS 是对的仍是错的。Stewart 所用的比如都很简略,并没有太多的技巧和套路,可是这样的作用却十分好,由浅入深的协助学生"explore the unknown",这才是一名优异的教师所应有的情绪和水平。

多年后,或许你会遗忘多元积分的公式,你也会遗忘LaplaceFourierTaylor的公式,但只需你还记得推理的办法,你就很简略在几分钟内完结这一个进程。李开复从条件到“遗忘你所学的全部公式和定理,假设你还能使用自己的了解去推理出来,那就阐明你的学识现已到家了。” 对这句话,自己无比附和。

美版教材一起顺便了许多的一元微积分习题,只罗列简略的入门习题:

(1)固定的鱼塘里放入必定数量的鱼苗,在满足养分下,鱼苗不会无限增加,而是指数增加,使用微积分常识,就能够求的相应的增加数量。

(2)博尔特在一次110米栏竞赛中,总用时12秒,那么问你,他在4.5秒的时分,详细的瞬间速度是多少?相同条件条件下,博尔特在8.5秒的时分,现已一共跑了多少米?毕竟就会问,有什么方法把上面两个不相干的问题联络起来?

(3)某降血压的药物,给高血压患者吃了后,检测得血压下降的速度与药物浓度有直接联络,使用微积分就能够求得,吃多少的药物,才是有用的安全规模。

(4)化学反响中,某元素反响时刻跟元素浓度呈正比联络,可是显着不是一般的线性联络,使用微积分,就能够求的某时刻的浓度,或许完全反响所需的时刻。

(5)发射地球同步卫星,需求多少做功,某瞬间需求多大的速度,怎么确认速度跟做功之间的联络,在简易条件下怎么查验相对论的正确性。

(6)水面的波涛从中心点向外扩张,呈sinhx 的轨道;而悬链线的受力状况,却是呈coshx的轨道,试用微积分常识进行简略阐明。

(7)流体经过某管道时,其接近管壁的流体速度会由于阻力二减慢,中心部分由于阻力较小而速度加速,试用微积分常识来解说为什么。

当然还有许多的变速的位移,变力做工,经济学的边际效应,价格弹性,财物定价模型(CAPM, WACC),旋转体的体积,等等都是《同济高数》所短少的实践使用。正是由于这些绘声绘色的比如,学生才干深化了解到微积分关于现代日子的巨大改动和含义。

不然,假设只是是把朴实的数字翻来翻去,求导/求积,学生都会了,那然后呢?莫非学了微积分便是来做一个人工核算器吗?国内教材总是直接叫学生套用某某公式解标题,而疏忽了公式之外的逻辑了解和推到才干,美版教材就底子相反,很着重对底子公式的推到和概括才干,而下降对公式自身的依耐性。这是两种天壤之别教育理念的抵触。

国内教材就像(授人与鱼),给你一堆公式和定理,让你照着用。美版教材就像(授人与渔)给你一种发现公式和定理的思想,让你学会自己概括总结。它首要就会通知咱们:《微分学》研讨“instantaneous,incremental and related changes” 的问题;而《积分学》研讨“outputfrom irregular input ”的问题。《微积分》的实质便是研讨"activevariable"的问题,教材特别屡次着重“thesignificant difference between calculus and algebra and geometry is thatcalculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is workingon still variable”.

对同济《线性代数》,浙大《概率核算》的定见

这两套教材也是被国人视为珍宝,敬而远之,可是适当许多的学生反映:“《概率核算》由于比较详细,还牵强看得懂。可是《现代》实在太笼统,所以许多学生反响无法了解”。由于这两套教材也十分笼统和理论化,短少很重要的PREFACE,让学生在学习之前能对本学科有一个FRAMEWORK 上的把握和掌控,底子上看完了也不知所云。

美版教材不管怎么都会有这些东西,而且开篇就通知你《线代》研讨的对象是“vector, especially COLUMN vector”,并不是所谓的“matrix”或许“determinant”或许“eigenvalue”,并在一开始就对向量进行了详尽的教育,从加法、减法,二维图示,三维图示,到dotproduct,到cross product,到matrix,到determinant,毕竟才是瓜熟蒂落地引入matrix as linear transformation。非理工科的学生,学到这儿就差不多了,后边vector space 和orthogonallity ,比较笼统,难度也大,能够有挑选地抛弃。

至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。假设是一维的,那便是两个向量共线;二维的,那便是两个向量构成一个四边形;三维的,那便是三个向量构成一个体积;四维以上的,照样是体积,可是一般不评论。而全部的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”,“特征值”,等等名词,都是rref 后环绕COLUMNvector 打开的运算罢了。可是由于《同济线代》底子没有这些根底常识做衬托,导致学生底子看不明白教材的内容。就适当于:让学生去缔造一栋摩天大楼,可是不让你打地基,直接就在平地施工缔造第一层。实践上非理工类本科阶段的《线性代数》是十分简略的,是最根底的加减乘罢了,可是(许多)学生却说不清楚columnspace 和row space 的差异,这就直接导致后期学习绰绰有余,寸步难行。

浙大的《概率核算》相对来说比同济优异太多了,但仍是存在十分丧命的缺陷。首要,是系统太紊乱,居然关于discrete/continuous RV 的最根底术语(pmf, pdf,cdf)都短缺完好。其次,是教育太粗浅,全部的实例都是一笔带过,关于大名鼎鼎的Poisson(),和Exponential () 乃至都没有阐了解之间的奇妙联络,简直不如维基百科。

美版的《概率与核算》对一维的变量散布进行了十分详尽的教育,五种discrete/continuous RV ,及其相关的mean,variance,median, skewness。每一种散布都配了至少五道例题,每到例题都有详细的回答思路和完好的mathmatical induction,简直占有了一半的教材内容,并顺便有十分丰富的课后练习。而关于愈加杂乱的二维变量,及其mean,cor-variance,co-relation,教材反而用了较少的版面,由于二维不过是两个一维变量围成的一个面积罢了,其他并无显着差异,只需先扎扎实实学好一维的,二维的问题就变得很简略。美版教材特别阐明晰几个问题“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ” 其实越是学到后边,越会发现“向量”的重要性,它即呈现在《线代》,也呈现在《概率》,更呈现在《高级微积分》中,能够说“向量”,是衔接“可感知国际”与“不行感知国际”的桥梁,是数学的“核武器”。

看完美国教材只需一个感触:真正好的教育是将杂乱的东西简化,强化根底概念和实践使用,弱化详细核算和逻辑证明,毕竟让一般学生也可把握相对艰深的理论常识,并敏捷转入实践使用。国内的教育正好相反:强化详细核算和逻辑证明,却弱化了根底概念和实践使用,毕竟出产了许多解题高手,但他们完全不明白这些数学有什么用?

教材引荐

以下教材是全英文的,对英语有较高的要求。当然,优异的教材有许多,我只罗列自己看过,而且给予好评的三本根底教材。他们难度适中,编写合理,循循渐进,很合适根底较差的经管类、或许理工科的大学生。

假设是初学者,请必定依照“微积分---概率论---线性代数”的流程来学习,由于“求导/求积”的运算是后期概率运算的根底。可是在《概率核算》和《线代》中,后边几章难度大,而且跟其他学科联络较少,所以一般学生看看即可,不需深化。由于《微积分》完全催化了物理学和化学,因而顺带引荐三套优异的理科教材。假设把《微积分》学好,再去学物理学或许化学,那简直是摧枯拉朽、风卷残云一般的简略。我是人大结业的,看到母校引入而且出书了如此优异的数学根底教材,感到十分高兴和骄傲。可见,不只是是我一个人,而是更多专家学者,都深深感到了中美高级教育的巨大距离。感谢母校供给的双语教材,登高望远,可谓居功至伟。

《微积分》

《概率论与数理核算》

《线性代数

《根底物理学》

《大学物理》

《根底化学》

《大学化学》

《根底生物学》

《大学生物学》

一起引荐一套相对来说比较“偏门的”书,是由于这些书尽管对考试没用,可是关于了解本学科,具有巨大的含义。关于特别重要的核心内容有深化的解说,从时刻轨道来阐明科学家是怎么把日子中的“现象”,高度提炼成为详细的“公式”,并用这些公式来改动了整个国际。引荐给有志于深化学习的学生看一看,尽管数字证明比较不流畅,可是能够不看数学证明,仅看发展进程,当作小说读一遍也会收获颇丰。

《数学史》

《化学简史》

《物理学史》

《科学史》

《科学发现者:物理原理与问题》

《科学发现者:化学概念与使用》

《科学发现者:生物生命的动力》

《科学发现者:地理环境与世界》

结语

由于才干有限,小生不行能几句话就总结大学数学,不行能通知他人怎么短期内成为学霸,由于《大学数学》作为一门高度完好谨慎的学科,毕竟要靠静心苦读和日夜刷题才干学到真功夫。小生衷心肠期望这篇短文能改动你们对数学的成见和仇视,为你们供给一个能够行进的方向,让高数不再那么高不行攀,让全部人都感触到数学之艺术和威力。

倘若将学习比作练武的话,那么教材便是练功秘籍,教师便是练功师傅。优异的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全,而残次的秘籍和师傅则让你走火入魔、声名狼藉。好了,写到这也差不多了。秘籍现已给你们供给在上面,但路一直在自己脚下,毕竟修炼成为丐帮帮主,亦或星宿老仙,就看各位自己了。

我在结业后的作业里,大学数学并没有太多直接发挥的途径。简直全部的核算和规划,都交给了核算机处理。可是在学习数学的进程中所得到的“紧密的推理”和“准确的结构”和“坚强的毅力”,这三样东西将会在你们的工作生涯发挥巨大的无形价值,不管你的工作,专业,性别,年岁,当你今后遇到困难和波折,静下来想一想,当年数学都能够把握,莫非还会惧怕眼前的苟且吗?

说究竟,数学给你带来的,其实是众神之上的“决心”。

英豪们,再见!

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修改 ∑Pluto

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